Характер колебаний акустической системы ультразвукового станка

Механическая колебательная система ультразвукового станка представляет собой неоднородный стержень, состоящий из ряда полуволновых элементов (преобразователь, волновод, концентратор), в котором возбуждаются вынужденные колебания частотой w. Решение этой задачи затрудняется тем, что нагрузка на инструмент описывается неизвестной кусочно-заданной функцией. Часть периода инструмент не касается зерен абразива, и сила, действующая на торец инструмента, равна нулю. В течение другой части периода соприкосновение торца инструмента с зернами абразива приводит к значительным местным деформациям, точного расчета которых еще нет.

Теоретическое исследование характера колебаний акустической системы в процессе ультразвуковой обработки проведено в ряде работ [42—44]. В основу этих расчетов положены различные предположения о характере реакции нагрузки при соприкосновении с инструментом.

— некоторая константа,

=2,5 кГ/см²

, что значительно меньше расчетной величины напряжений. В качестве последующего приближения в работах [43, 44] рассмотрены колебания стержня в предположении, что напряжение на конце стержня при контакте его с поверхностью является известной функцией деформа ции и может быть задано в виде

где у — смещение конца стержня относительно поверхности; S — площадь поперечного сечения. При возбуждении колебаний от внешнего источника стационарный режим может быть получен при условии учета потерь энергии на внутреннее трение. Уравнение движения в этом случае имеет вид где £ — продольное смещение; Е — модуль Юнга; Е — коэффициент вязкости; f (х, t) — плотность внешних сил. На верхнем, свободном конце стержня напряжения все время равны нулю, т. е.

напряжения на конце равны

Конкретный вид функции

Ф (у) может быть записан для упругого взаимодействия любого характера. В частности, для линейной нагрузки она задается уравнением Ф (y)= аy.

в действительности не задана, а связана с величиной силы прижима. Эта связь соответствует простому физическому предположению, что средняя сила, действующая на нижний конец стержня, равна постоянной силе, прижимающей стержень к поверхности:

В работах [42—44] сделан ряд упрощающих предположений и мы считаем необходимым остановиться более подробно на каждом из них.

Будем считать, что два последних члена в уравнении (22) отсутствуют. Это соответствует предположению, что энергия потерь компенсируется энергией, поступающей от источника. В этом случае уравнение (22) переходит в обычное волновое уравнение:

Так как из указанного уравнения определить амплитуду колебаний невозможно, необходимо задать ее величину или среднюю за период колебательную энергию, которые должны быть определены экспериментально.

Предполагается, что колебания имеют стационарный характер, а напряжения представляют собой периодически повторяющиеся импульсы. Период повторения их совпадает с периодом вынужденных колебаний стержня. Это предположение основано на анализе экспериментальных данных по исследованию напряжений в процессе ультразвуковой обработки. В соответствии с ним граничное условие для нижнего конца стержня можно записать для одного периода:

В работах [42—44] пренебрегается деформацией в стержне, вызванной предыдущими ударами, и рассматривается движение стержня при касании как возмущение, которое в определенную часть периода изменяет характер колебаний стержня со свободными концами. Как известно, распределение амплитуды колебаний по всему стержню для этого случая описывается выражением

— резонансная длина стержня.

Указанное предположение соответствует ряду экспериментальных данных. Проведенная в работе [4] запись смещения различных точек на поверхности колебательной системы как функции времени показала, что движение их близко к гармоническому, а распределение амплитуд мало отличается от аналогичного распределения при свободно колеблющемся конце. Сопоставление амплитуды напряжений в узле смещения с величиной напряжений при обработке показало [43], что эта величина составляет всего несколько процентов от максимальной. Приведенные данные подтверждают справедливость сделанного предположения.

Воспользовавшись записью решения волнового уравнения в интегральной форме (см., например, [46]), можно показать, что движение конца колеблющегося стержня описывается обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Это уравнение связывает производные от смещения на конце стержня и некоторые функции от начального распределения смещений и скоростей по всему стержню:

Решение уравнения (28) позволяет определить форму импульса деформаций, который распространяется по стержню.

которая входит в уравнение (28), согласно граничному условию (26), может быть заменена функцией от смещения конца стержня. Учитывая, что существование отрицательных напряжений невозможно, решение уравнения (28) справедливо при условии

Равенство выполняется в двух случаях — в момент касания и в момент отрыва. Таким образом, для смещения конца стержня получим дифференциальное уравнение с заданным начальным условием:

из (29) получаем зависимость напряжений на конце стержня от времени

определяются из условий

, можно получить решение задачи об ударе стержня о жесткую поверхность, совпадающее с решением, приведенным в работе [42],

Как известно, производительность ультразвуковой обработки существенно зависит от максимальной величины механических напряжений в зоне контакта. Эта величина соответствует экстремальному значению функции о (t), определяемому также из указанных формул. Исключая из этой системы уравнений параметр б, получим зависимость максимума напряжений от амплитуды колебаний и давления прижима:

она может быть

— коэффициенты Пуассона.

где а определяется

—величина не безразмерная, что необходимо учитывать при расчетах. Это уравнение не интегрируемо в квадратурах. Численное решение его было получено на электронно-вычислительной машине для следующих конкретных условий: Е2=20 ООО кГ/мм2;

получим интересующую нас зависимость максимума силы от силы прижима и амплитуды колебаний. Аппроксимация этой зависимости степенной функцией дает

— в килограммах.

Сопоставление показывает, что максимум напряжений в импульсе в несколько десятков раз меньше амплитуды переменных напряжений в пучности. Это подтверждает справедливость сделанного предположения о малом влиянии предыдущего удара.

Полученная теоретическая зависимость сопоставлялась с результатами эксперимента, для чего использовалась колебательная система от ультразвукового станка мод. 4770. К нижнему концу концентратора диаметром

то в этой системе координат в полном соответствии с теорией, все точки хорошо ложатся на одну прямую, которая соответствует теоретически найденной зависимости максимума силы от силы прижима и амплитуды колебаний. Как видно из графика, экспериментальные результаты находятся в хорошем согласии с предсказаниями теории. Анализ экспериментальных данных показал, что среднее отклонение не превышает точности отдельных измерений.

Таким образом, согласие выводов теории с экспериментальными данными подтверждает основные предположения о характере колебаний в системе ультразвуковых станков, которые заключаются в том, что задание закона взаимодействия упругой нагрузки на конце стержня полностью определяет характер изменения напряжений во времени. Движение стержня перед касанием мало отличается от режима колебаний его при свободном нижнем конце. Влияние предыдущего удара на процессе колебаний стержня не сказывается.